作业讲解与微积分复习
习题课 1 · 概率论与数理统计
复旦大学经济学院 ECON130001
前 45 分钟：作业讲解
- 习题 1-2（概率的性质、古典概型、几何概型）：1、3、5、7、9、11
- 习题 1-3（条件概率、乘法法则、全概率公式、贝叶斯定理）：2、4、6、11、12、13
- 习题 1-4（独立性）：4、6、10
重点讲四道：1-2 第 11 题、1-3 第 4 题、1-3 第 12 题、1-4 第 10 题。
习题 1-2 第 1、3 题：概率的性质
$A\subset B$，$P(A)=0.4$，$P(B)=0.6$。求 (1) $P(\overline A)$，$P(\overline B)$；(2) $P(AB)$；(3) $P(A\cup B)$；(4) $P(\overline AB)$；(5) $P(\overline A\,\overline B)$，$P(\overline BA)$。
关键：$A\subset B$ 时 $AB=A$，$A\cup B=B$。
(1) $0.6$，$0.4$； (2) $P(AB)=P(A)=0.4$； (3) $P(A\cup B)=P(B)=0.6$；
(4) $P(\overline AB)=P(B)-P(AB)=0.2$；
(5) $P(\overline A\,\overline B)=1-P(A\cup B)=0.4$，$P(\overline BA)=P(A)-P(AB)=0$。
$P(A)=0.5$，$P(B)=0.7$，$P(A\cup B)=0.8$。求 $P(B-A)$ 与 $P(A-B)$。
先求交：$P(AB)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=0.4$。
$P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.3$，$P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.1$。
$P(B-A)=P(B)-P(AB)$，不是 $P(B)-P(A)$。后者只在 $A\subset B$ 时成立（第 1 题正是这种情形）。
习题 1-2 第 5、7 题：排列计数
书架上有一部五卷册的文集，求各册自左至右或自右至左恰好排成自然顺序的概率。
五册的排法共 $A_5^5=5!=120$ 种，等可能；符合要求的只有正序、倒序 2 种： $$P=\frac{2}{120}=\frac{1}{60}$$
$n$ 个朋友随机地围绕圆桌就座，求其中指定的两个人座位相邻的概率。
先让甲坐下。乙在其余 $n-1$ 个座位上等可能，其中与甲相邻的有 2 个： $$P=\frac{2}{n-1}\quad(n\ge3)$$
验算：$n=3$ 时概率为 1——三人围坐，任意两人都相邻。
习题 1-2 第 9 题：抽检中的次品数
设有 $N$ 件产品，其中 $M$ 件次品，从中任取 $n$ 件。(1) 求恰有 $k$ 件次品的概率（$k\le\min\{M,n\}$）；(2) 求至少有 2 件次品的概率。
(1) 从 $N$ 件中取 $n$ 件，共 $C_N^n$ 种取法；恰有 $k$ 件次品，即从次品中取 $k$ 件、从正品中取 $n-k$ 件： $$P=\frac{C_M^k\,C_{N-M}^{\,n-k}}{C_N^n}$$
(2) 「至少 2 件」的对立事件是「0 件或 1 件」： $$P=1-\frac{C_{N-M}^{\,n}+C_M^1\,C_{N-M}^{\,n-1}}{C_N^n}$$
「至少……」类问题，先看对立事件是否更简单：这里正面要加 $2,3,\dots$ 许多项，反面只有两项。
习题 1-2 第 11 题：两艘船停靠泊位
两艘船都要停靠同一泊位，它们可能在一昼夜（24 h）的任意时刻到达，停靠时间分别为 1 h 和 2 h。求有一艘船需要等待的概率。
记停 1 h 的船在 $x$ 时到达，停 2 h 的船在 $y$ 时到达。点 $(x,y)$ 落在正方形 $[0,24]^2$ 内，落在任一区域的概率与该区域的面积成正比（几何概型）。
第 11 题（续）：什么时候需要等待
停 1 h 的船先到：它在 $x+1$ 时离开，另一艘在此之前到达就要等，即 $x\le y<x+1$。例如它 8:00 到，另一艘 8:30 到，要等半小时。
停 2 h 的船先到：它在 $y+2$ 时离开，即 $y\le x<y+2$。例如它 8:00 到，另一艘 9:30 到，仍要等。
合起来：$x-2<y<x+1$，即右图的阴影带。
第 11 题（续）：用面积算概率
直接算阴影带不方便，改算带外的两个三角形：
$y\ge x+1$：左上的三角形，直角边 $24-1=23$；
$y\le x-2$：右下的三角形，直角边 $24-2=22$。 $$P=1-\frac{\frac12\cdot23^2+\frac12\cdot22^2}{24^2}=\frac{139}{1152}\approx0.121$$
习题 1-3 第 2、4 题：条件概率的两种算法
$P(A)=0.5$，$P(B)=0.6$，$P(B\mid A)=0.8$，求 $P(AB)$ 及 $P(\overline A\,\overline B)$。
解：乘法法则 $P(AB)=P(A)\,P(B\mid A)=0.4$；$P(\overline A\,\overline B)=1-P(A\cup B)=1-(0.5+0.6-0.4)=0.3$。
掷两颗骰子，已知点数之和为 7，求其中有一颗为 1 点的概率。分别用条件概率的定义、样本空间的收缩计算。
记 $A$＝点数之和为 7，$B$＝有一颗为 1 点。$P(A)=\frac{6}{36}$；$AB=\{(1,6),(6,1)\}$，$P(AB)=\frac{2}{36}$： $$P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac13$$
已知和为 7，样本空间收缩为 6 个结果：$(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$。其中有 1 点的 2 个： $$P=\frac26=\frac13$$
习题 1-3 第 6 题：波利亚模型
袋中有 $r$ 个红球、$t$ 个白球。每次任取一球，观察颜色后放回，并再放入 $a$ 个与取出的球同色的球。连续取球四次，求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。
记 $A_i$＝第 $i$ 次取到红球。由乘法法则： $$P(A_1A_2\overline A_3\overline A_4)=P(A_1)\,P(A_2\mid A_1)\,P(\overline A_3\mid A_1A_2)\,P(\overline A_4\mid A_1A_2\overline A_3)$$ $$=\frac{r}{r+t}\cdot\frac{r+a}{r+t+a}\cdot\frac{t}{r+t+2a}\cdot\frac{t+a}{r+t+3a}$$
取到红球后，袋中红球变多，下一次再取到红球的可能性随之增大：某种结果出现得越多，就越容易再出现。这个模型由 Eggenberger 与 Pólya 于 1923 年提出，最初用来描述传染病的传播：已出现的病例越多，下一个人被感染的可能性越大。
习题 1-3 第 11 题：信号传输
两种信息分别编码为 $X$ 和 $Y$ 传送。$X$ 被误收作 $Y$ 的概率为 0.02，$Y$ 被误收作 $X$ 的概率为 0.01；$X$ 与 $Y$ 传送的频繁程度之比为 $2:1$。若接收站收到的是 $X$，求原发信息也是 $X$ 的概率。
记 $A$＝发出 $X$，$B$＝收到 $X$。已知 $P(A)=\frac23$，$P(\overline A)=\frac13$，$P(B\mid A)=1-0.02=0.98$，$P(B\mid\overline A)=0.01$。由贝叶斯定理： $$P(A\mid B)=\frac{0.98\times\frac23}{0.98\times\frac23+0.01\times\frac13}=\frac{1.96}{1.97}=\frac{196}{197}\approx0.995$$
题目给的是误收的概率 0.02，分子要用的是正确接收的概率 $1-0.02=0.98$。
习题 1-3 第 12 题：两箱零件
第一箱 50 件，其中 10 件一等品；第二箱 30 件，其中 18 件一等品。任挑一箱，从中不放回地依次取两件。求：(1) 第一次取出一等品的概率；(2) 已知第一次取出一等品，第二次仍是一等品的概率。
记 $H$＝挑中第一箱，$A_i$＝第 $i$ 次取到一等品。
(1) 全概率公式：$P(A_1)=\frac12\cdot\frac{10}{50}+\frac12\cdot\frac{18}{30}=0.4$。
(2) $P(A_1A_2)=\frac12\cdot\frac{10}{50}\cdot\frac{9}{49}+\frac12\cdot\frac{18}{30}\cdot\frac{17}{29}$， $$P(A_2\mid A_1)=\frac{P(A_1A_2)}{P(A_1)}=\frac{690}{1421}\approx0.486$$
写成 $\frac12\cdot\frac{9}{49}+\frac12\cdot\frac{17}{29}\approx0.385$。错在仍用 $\frac12$ 给两箱加权：第一次取到一等品之后，挑中哪一箱的可能性已经变了。
按贝叶斯定理更新：$P(H\mid A_1)=\frac14$，$P(\overline H\mid A_1)=\frac34$，于是 $\frac14\cdot\frac{9}{49}+\frac34\cdot\frac{17}{29}\approx0.486$，与左边一致。
习题 1-3 第 13 题：一道证明
设 $A$、$B$ 为两个事件，若 $P(A\mid B)=1$，证明 $P(\overline B\mid\overline A)=1$。
由 $P(A\mid B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}=1$ 得 $P(AB)=P(B)$。于是 $$P(\overline B\mid\overline A)=\frac{P(\overline A\,\overline B)}{P(\overline A)}=\frac{1-P(A\cup B)}{1-P(A)}=\frac{1-P(A)-P(B)+P(AB)}{1-P(A)}=\frac{1-P(A)}{1-P(A)}=1$$
（题中隐含 $P(B)>0$、$P(A)<1$，否则两个条件概率没有定义。）
可以对照逻辑里的逆否命题来理解：「$B$ 发生则 $A$ 发生」与「$A$ 不发生则 $B$ 不发生」是同一件事。
习题 1-4 第 4、6 题：独立性
$A$ 与 $B$ 相互独立，$P(A)=\alpha$，$P(B)=\beta$。求 (1) $P(A\cup B)$；(2) $P(A\cup\overline B)$；(3) $P(\overline A\cup\overline B)$。
$A$、$B$ 独立时，$A$ 与 $\overline B$ 也独立。
(1) $\alpha+\beta-\alpha\beta$；
(2) $\alpha+(1-\beta)-\alpha(1-\beta)=1-\beta+\alpha\beta$；
(3) $P(\overline A\cup\overline B)=1-P(AB)=1-\alpha\beta$。
三人独立地破译一份密码，各人能译出的概率分别为 $\frac15$、$\frac13$、$\frac14$。求至少一人能译出的概率。
对立事件是「三人都译不出」： $$P=1-\frac45\cdot\frac23\cdot\frac34=1-\frac25=\frac35$$
用三个事件的加法公式要算七项，结果相同；取对立事件只需一行。
习题 1-4 第 10 题：先下手为强
甲、乙两人射击水平相当，约定轮流对同一目标射击，直到有人命中为止，命中的一方获胜。先射击的一方是否一定占优？为什么？
设每次命中的概率为 $p$，记 $q=1-p$（$0<q<1$）。甲先射，甲在第 1、3、5、…… 次射击时命中才获胜，此前各次都未命中： $$P(\text{甲胜})=p+q^2p+q^4p+\cdots=\frac{p}{1-q^2}=\frac{1}{1+q}$$ $$P(\text{乙胜})=qp+q^3p+\cdots=\frac{qp}{1-q^2}=\frac{q}{1+q}$$ 因为 $q<1$，$\frac{1}{1+q}>\frac{q}{1+q}$：先射击的一方一定占优。
求和用的是等比级数，公比是 $q^2$，不是 $q$。
后 45 分钟：第 5 讲起要用的微积分
- 复合函数求导：链式法则
- 变上限积分的求导：积分上限是变量时，怎样对它求导
- 分部积分：乘积形式的被积函数怎样积分
- 二重积分：画图、求交、定限，化成两次定积分（本节重点）
从第 5 讲起，计算的主要工具会从排列组合换成积分与求导。今天逐一复习这四项基本功，每一项都按「法则 → 例题 → 练习」展开。
复合函数求导：链式法则
若 $y=f(u)$，$u=g(x)$ 都可导，则 $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f'(u)\cdot g'(x)=f'\big(g(x)\big)\,g'(x)$$
外层函数求导（里面原样保留），再乘内层函数的导数。
内层函数递减时，它的导数是负数：$u=-x$ 时 $u'=-1$，$u=\dfrac1x$ 时 $u'=-\dfrac1{x^2}$。这个负号要一并乘进去。
例：用链式法则求导
第一步 分层：外层 $f(u)=\sqrt u$，内层 $u=1+x^2$。
第二步 各自求导：$f'(u)=\dfrac{1}{2\sqrt u}$，$u'=2x$。
第三步 相乘，把 $u$ 代回： $$y'=\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$$
第一步 分层：外层 $f(u)=e^u$，内层 $u=\dfrac1x$。
第二步 各自求导：$f'(u)=e^u$，$u'=-\dfrac1{x^2}$。
第三步 相乘，把 $u$ 代回： $$y'=e^{1/x}\cdot\Big(-\frac1{x^2}\Big)=-\frac{e^{1/x}}{x^2}$$
例 2 的内层函数 $\dfrac1x$ 递减，导数为负，结果带一个负号。
练习 1：求导数
(1) $e^{-2x}$； (2) $\ln(1+x^2)$； (3) $\sin\dfrac1x$（$x\ne0$）。
(1) 外层 $e^u$，内层 $u=-2x$：$e^{-2x}\cdot(-2)=-2e^{-2x}$。
(2) 外层 $\ln u$，内层 $u=1+x^2$：$\dfrac{1}{1+x^2}\cdot2x=\dfrac{2x}{1+x^2}$。
(3) 外层 $\sin u$，内层 $u=\dfrac1x$：$\cos\dfrac1x\cdot\Big(-\dfrac1{x^2}\Big)=-\dfrac{1}{x^2}\cos\dfrac1x$。
练习 2：抽象函数的求导
设 $F$ 可导，但不知道它的具体表达式，只把它的导数记作 $f$，即 $F'=f$。链式法则照样适用：外层是 $F$，外层求导就得到 $f$。例如 $\big[F(2x)\big]'=f(2x)\cdot2$。
对 $y>0$，求导数：(1) $G(y)=F(\sqrt y)-F(-\sqrt y)$； (2) $H(y)=1-F\!\left(\dfrac1y\right)$。
(1) $G'(y)=f(\sqrt y)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt y}-f(-\sqrt y)\cdot\Big(-\dfrac{1}{2\sqrt y}\Big)=\dfrac{f(\sqrt y)+f(-\sqrt y)}{2\sqrt y}$。
(2) $H'(y)=-f\!\left(\dfrac1y\right)\cdot\Big(-\dfrac1{y^2}\Big)=\dfrac{1}{y^2}\,f\!\left(\dfrac1y\right)$。
两题各有两个负号相乘：一个是式子本身的减号，一个来自递减的内层函数（$-\sqrt y$ 与 $\dfrac1y$）。
变上限积分及其求导
$\Phi(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm dt$ 的积分上限是变量 $x$，积分的结果随 $x$ 变化，所以 $\Phi$ 是 $x$ 的函数。积分变量写成 $t$，是为了和上限 $x$ 区分开。
① $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm dt=f(x)$
即：对上限求导，就是把上限代进被积函数。
$\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\displaystyle\int_0^x\cos t\,\mathrm dt=\cos x$。验算：先积分，$\displaystyle\int_0^x\cos t\,\mathrm dt=\sin x$；再求导，得 $\cos x$，两者一致。
上限或下限是函数时
② $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\displaystyle\int_a^{u(x)} f(t)\,\mathrm dt=f\big(u(x)\big)\,u'(x)$：上限是函数时，代入后再乘它的导数。
③ $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\displaystyle\int_{v(x)}^{u(x)} f(t)\,\mathrm dt=f\big(u(x)\big)\,u'(x)-f\big(v(x)\big)\,v'(x)$：下限也变时，减去下限那一项。
② 就是链式法则：外层是公式①，内层是 $u(x)$。③ 由 $\displaystyle\int_{v}^{u}=\int_a^{u}-\int_a^{v}$ 拆成两个②。
$\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\displaystyle\int_0^{x^2}e^{-t}\,\mathrm dt=e^{-x^2}\cdot2x$（公式②，$u=x^2$）。
验算：先积分，$\displaystyle\int_0^{x^2}e^{-t}\,\mathrm dt=1-e^{-x^2}$；再求导，得 $2xe^{-x^2}$，两者一致。
练习 3：变上限积分的求导
(1) $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\displaystyle\int_0^{2x}e^{t^2}\,\mathrm dt$； (2) $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\displaystyle\int_x^{1}t^2\,\mathrm dt$； (3) $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dy}\displaystyle\int_{-\sqrt y}^{\sqrt y}\cos t\,\mathrm dt$（$y>0$）。
(1) 公式②，$u=2x$：$e^{(2x)^2}\cdot2=2e^{4x^2}$。$e^{t^2}$ 没有初等原函数，但求导不必先积出来。
(2) 下限是变量：先对调上下限，$\displaystyle\int_x^1t^2\,\mathrm dt=-\int_1^xt^2\,\mathrm dt$，导数为 $-x^2$。
(3) 公式③：$\cos\sqrt y\cdot\dfrac{1}{2\sqrt y}-\cos(-\sqrt y)\cdot\Big(-\dfrac{1}{2\sqrt y}\Big)=\dfrac{\cos\sqrt y}{\sqrt y}$。验算：原积分等于 $2\sin\sqrt y$，求导得同一结果。
(3) 与练习 2(1) 是同一件事：$F(\sqrt y)-F(-\sqrt y)=\displaystyle\int_{-\sqrt y}^{\sqrt y}f(t)\,\mathrm dt$。
分部积分：公式
$$\int u\,\mathrm dv=uv-\int v\,\mathrm du$$ 定积分：$\displaystyle\int_a^b u\,\mathrm dv=\big[uv\big]_a^b-\int_a^b v\,\mathrm du$。
乘积求导 $(uv)'=u'v+uv'$，两边积分，再移项。所以分部积分就是乘积求导法则倒过来用。
$u$ 选求导后变简单的（如 $x$、$x^2$、$\ln x$）；$\mathrm dv$ 选容易积分的（如 $e^x\,\mathrm dx$、$\sin x\,\mathrm dx$、$\cos x\,\mathrm dx$）。
例：分部积分
第一步 选取：$u=x$，$\mathrm dv=e^x\,\mathrm dx$。
第二步 求出 $\mathrm du$ 与 $v$：$\mathrm du=\mathrm dx$，$v=e^x$。
第三步 代入公式： $$\int xe^x\,\mathrm dx=xe^x-\int e^x\,\mathrm dx=(x-1)e^x+C$$
验算：$\big[(x-1)e^x\big]'=e^x+(x-1)e^x=xe^x$。
若取 $u=e^x$，$\mathrm dv=x\,\mathrm dx$，则 $v=\dfrac{x^2}{2}$： $$\int xe^x\,\mathrm dx=\frac{x^2}{2}e^x-\int\frac{x^2}{2}e^x\,\mathrm dx$$ 剩下的积分里 $x$ 的次数从 1 升到 2，比原来更难。
练习 4：分部积分
(1) $\displaystyle\int x\cos x\,\mathrm dx$； (2) $\displaystyle\int\ln x\,\mathrm dx$； (3) $\displaystyle\int_0^1xe^{-x}\,\mathrm dx$； (4) $\displaystyle\int x^2e^x\,\mathrm dx$。
(1) $u=x$，$v=\sin x$：$x\sin x-\displaystyle\int\sin x\,\mathrm dx=x\sin x+\cos x+C$。
(2) 被积函数只有一项时，可以取 $\mathrm dv=\mathrm dx$。$u=\ln x$，$v=x$：$x\ln x-\displaystyle\int x\cdot\frac1x\,\mathrm dx=x\ln x-x+C$。
(3) 定积分的边界项也要代入上下限。$u=x$，$v=-e^{-x}$：$\big[-xe^{-x}\big]_0^1+\displaystyle\int_0^1e^{-x}\,\mathrm dx=-e^{-1}+\big(1-e^{-1}\big)=1-\frac2e$。
(4) 用两次：取 $u=x^2$，得 $x^2e^x-2\displaystyle\int xe^x\,\mathrm dx$；后一项就是上一页的例题，结果为 $(x^2-2x+2)e^x+C$。
二重积分：化成两次定积分
第 2 讲的几何概型里，概率是面积之比，而区域 $D$ 的面积就是 $\displaystyle\iint_D 1\,\mathrm dx\,\mathrm dy$。被积函数换成一般的 $f(x,y)$，计算方法不变。
若 $D$ 可以写成 $a\le x\le b$，$\varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)$，则 $$\iint_D f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy=\int_a^b\Big(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,\mathrm dy\Big)\mathrm dx$$ 内层对 $y$ 积分时，把 $x$ 看成常数；内层积完只剩 $x$，再对 $x$ 积分。
定限三步
- 画图：把所有约束画在同一张图上。
- 求交：区域由几组约束共同给出时，先求出公共部分。
- 定限：先定外层变量的范围；再在图上任取外层变量的一个值，看对应的竖条（或横条）从哪条线进入区域、从哪条线离开，读出内层变量的上下限。
外层变量的上下限必须是常数；内层变量的上下限可以含外层变量，但不能含内层变量本身。
换一种积分次序再算一遍，结果必须相同。
例（一）：先对 $y$ 积分
$D$ 是以 $(0,0)$、$(1,0)$、$(1,1)$ 为顶点的三角形，即 $0\le y\le x\le1$。求 $\displaystyle\iint_D xy\,\mathrm dx\,\mathrm dy$。
第一步 画图：见右图。
第二步 定限：外层 $x$ 从 0 到 1；对每个 $x$，橙色竖条从 $y=0$ 进入区域、到 $y=x$ 离开，所以 $y$ 从 0 到 $x$。
第三步 内层（$x$ 看成常数）：$\displaystyle\int_0^x xy\,\mathrm dy=x\cdot\frac{x^2}{2}=\frac{x^3}{2}$。
第四步 外层：$\displaystyle\int_0^1\frac{x^3}{2}\,\mathrm dx=\frac18$。
例（二）：同一道题，先对 $x$ 积分
第二步 定限：外层 $y$ 从 0 到 1；对每个 $y$，绿色横条从 $x=y$ 进入区域、到 $x=1$ 离开，所以 $x$ 从 $y$ 到 1。
第三步 内层（$y$ 看成常数）：$\displaystyle\int_y^1 xy\,\mathrm dx=y\cdot\frac{1-y^2}{2}$。
第四步 外层：$\displaystyle\int_0^1\frac{y-y^3}{2}\,\mathrm dy=\frac12\Big(\frac12-\frac14\Big)=\frac18$。
两种次序的积分限完全不同，结果必须相同。算完一种、再用另一种验算，可以检查定限是否正确。
练习 5：两种次序，两套积分限
设 $D=\{(x,y):x^2\le y\le1\}$。
(1) 求常数 $c$，使 $\displaystyle\iint_D cy\,\mathrm dx\,\mathrm dy=1$；
(2) 固定 $x$、沿竖条对 $y$ 积分，得到 $g(x)$；固定 $y$、沿横条对 $x$ 积分，得到 $h(y)$。
(1) $\displaystyle\int_{-1}^{1}\mathrm dx\int_{x^2}^{1}y\,\mathrm dy=\int_{-1}^{1}\frac{1-x^4}{2}\,\mathrm dx=\frac45$，故 $c=\dfrac54$。
(2) 竖条：$g(x)=\displaystyle\int_{x^2}^{1}\tfrac54y\,\mathrm dy=\tfrac58(1-x^4)$，$-1\le x\le1$。
横条：$h(y)=\displaystyle\int_{-\sqrt y}^{\sqrt y}\tfrac54y\,\mathrm dx=\tfrac52\,y^{3/2}$，$0\le y\le1$。
两次积分的限完全不同；算 $h(y)$ 时，$x<0$ 的那一半不能漏。
练习 6：求交之后，换个次序就不用分段
沿用练习 5 的 $D$ 与 $c=\frac54$，求 $\displaystyle\iint_{D\cap\{y\ge x\}}\tfrac54y\,\mathrm dx\,\mathrm dy$。
$x<0$ 时 $y\ge x$ 自动成立，下限是 $x^2$；$0\le x\le1$ 时 $x\ge x^2$，下限是 $x$。 $$\int_{-1}^{0}\!\mathrm dx\!\int_{x^2}^{1}\!\tfrac54y\,\mathrm dy+\int_{0}^{1}\!\mathrm dx\!\int_{x}^{1}\!\tfrac54y\,\mathrm dy=\tfrac12+\tfrac5{12}=\tfrac{11}{12}$$
对每个 $y\in[0,1]$，$x$ 从 $-\sqrt y$ 到 $y$（因为 $y\le\sqrt y$）： $$\int_0^1\!\mathrm dy\!\int_{-\sqrt y}^{y}\!\tfrac54y\,\mathrm dx=\tfrac54\int_0^1\big(y^2+y^{3/2}\big)\,\mathrm dy=\tfrac{11}{12}$$
定限之前，先比较两种次序：哪一种不用分段，就用哪一种。
练习 7：交换积分次序
计算 $\displaystyle\int_0^1\mathrm dx\int_x^1e^{y^2}\,\mathrm dy$。
第一步 判断：$e^{y^2}$ 没有初等原函数，按给定次序无法积出。
第二步 由积分限画出区域：$0\le x\le1$，$x\le y\le1$，即三角形 $0\le x\le y\le1$。
第三步 按横条重新定限：$y$ 从 0 到 1，$x$ 从 0 到 $y$： $$\int_0^1\mathrm dy\int_0^y e^{y^2}\,\mathrm dx=\int_0^1 y\,e^{y^2}\,\mathrm dy=\frac{e-1}{2}$$
交换次序时，积分限要从图上重新读出，不能把原来的上下限直接对调。
